Question

доказать , что функции f(x)и φ(x) при x→0
бесконечно малыми одного порядка малости
f(x)=x^2−cos2x, φ(x)=6x^2.

Answer 1

Если   $limlimits _{x to x_0} frac{f(x)}{varphi (x)} =constne 0$  , то   $f(x)$  и   $varphi (x)$  одного порядка малости.

$limlimits _{x to 0} frac{x^2-cos2x}{6x^2} = limlimits _{x to 0}(frac{1}{6}- frac{cos2x}{6x^2} )= limlimits _{x to 0} (frac{1}{6}- frac{1-2sin^2x}{6x^2} )=\\= limlimits _{x to 0}(frac{1}{6}-frac{1}{6x^2}+frac{sin^2x}{3x^2} )= limlimits _{x to 0}(frac{1}{6}-frac{1}{6x^2} +frac{x^2}{3x^2} )=\\= Big [, frac{1}{6} -infty +frac{1}{3}, Big ]=infty$

Величина  $varphi (x)=6x^2$  является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем величина  $f(x)=x^2-cos2x$ .