Question

Решите пожалуйста
257(3), 259(3), 260(4)

Answer 1

task/26742550
-------------------
(sin3x+sin5x)² =(cos3x +cos5x)² ; 
1- ый способ:            (в лоб)
sin²3x +2sin3x*sin5x+sin²5x =cos²3x +2cos3x*cosx+cos²5x ;
(cos²5x - sin²5x) +(cos²3x - sin²3x) +2(cos3x*cos5x - sin3x*sin5x)=0 ;
cos10x+cos6x+2cos(3x+5x)= 0 ; 
2cos8xcos2x +2cos8x =0 ⇔2cos8x*(1+cos2x) =0⇔4cos²x*cos8x=0 ;
а) cosx =0 ⇒ x =π/2 +πn , n∈Z.
или 
б) cos8x =0 ⇒ 8x =π/2 +πn , n∈Z. ⇔x =π/16+(π/8)*n , n∈Z.

ответ: π/2 +πn ,  π/16+(π/8)*n , n∈ Z.
---------------
2-ой способ:   (преобразования сумм в произведения)
(2sin4x*cosx)²=(2cos4x*cosx)² ⇔4cos²x(cos²4x -sin²4x) =0⇔
4cos²x*cos8x=0 ....
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3sin4x= (cos2x -1)tgx ; 
* * *sin4x=sin2*2x =2sin2x*cos2x= 4sinx*cosx*cos2x  * * *
12sinx*cosx*cos2x=(cos2x -1)*(sinx /cosx)  ;  |*cosx ≠0
12sinx*cos²x*cos2x =(cos2x -1)*sinx ;
sinx(12cos²x*cos2x -(cos2x-1) )  =0 ;
sinx(6cos2x*2cos²x -cos2x+1) =0 ;    * * *2cos²x =1+ cos2x  * * *
sinx(6cos2x*(cos2x+1) - cos2x+1) =0 ; 
sinx(6cos²2x+5cos2x+1) =0 ; 
а) sinx =0 ⇒x =πn ,n∈Z.
или 
б) 6cos²2x+5cos2x+1 =0 ;  квадратное уравнение относительно cos2x 
cos2x = (-5 -1)/12 = -1/2 ⇒2x =±(π-π/3)+2πn , n∈Z⇔x =±π/3+πn , n∈Z.
cos2x = (-5 +1)/12= -1/3⇒2x =±(π-arccos(1/3))+2πn . 
                                            x =±(π/2-(1/2)*arccos(1/3) )+πn ; n∈Z. 
ответ: πn , ±π/3+πn , ±(π/2-(1/2)*arccos(1/3) )+πn ; n∈Z. 
* * * * * * *
sinx+cosx  - 2√2sinx*cosx =0 ;
√2sin(x+π/4) =√2sin2x =0 ; 
sin2x - sin(x+π/4) =0 ;
2sin(x/2 -π/8)*cos(3x/2+π/8) =0 ;
а) sin(x/2 -π/8)=0 ⇒ x/2 -π/8=πk , k∈Z  ⇔   x=π/4+2πk , k∈Z .
б) cos(3x/2+π/8) =0 ⇒ 3x/2 +π/8=π/2+πn , n∈Z ⇔x=π/4+(2π/3)n , n∈Z.
При n=3k  из второй  серии  решений (x=π/4+(2π/3)n )  получается  первое (x=π/4+2πk).

ответ:  π/4+(2π/3)n , n∈Z.

Answer 2

sinx + cosx - 2√2sinx*cosx =0 ⇔sinx+cosx=√2*2sinx*cosx =0 ⇔ sinx +cosx =√2( (sinx +cosx)² - 1 ) и замена: t =sinx +cosx