Question

Докажите, что при любом натуральном n верно
$n^{3} + 5n$ кратно 6

Answer 1

Числа $n^3$ и $5n$ одинаковой четности, поєтому их сумма четное число, т.е. кратно 2

Осталось доказть что при любом натуральном n число делится на 3 нацело

n^3 при делении на 3 дает соотвественно остатки 0, 1,2
а число 5n соотвествено дает остатки 0, 2, 1
остаток суммы остаток при делении на 3 равен в каждом случае 0,
следовательно сумма $n^3+5n$ кратна 3
Так как 2 и 3 взаимно просты, то сумма кратна 6. Доказано