На сколько сумма квадратов первых ста чётных чисел больше суммы квадратов первых ста нечётных чисел?
Ответы
Ответ дал:
0
Чтобы найти, на сколько сумма квадратов первых ста чётных чисел больше суммы квадратов первых ста нечётных чисел, надо вычислить разность этих сумм.
Пусть
- сумма первых 10 чётных чисел,
- сумма первых ста нечётных чисел.
Записываем суммы:
![S_2 = 200^2 + 198^2 + 196^2 +...+ 4^2 + 2^2 \ \ S_1 = 199^2 + 197^2 +195^2+...+3^2 +1^2 S_2 = 200^2 + 198^2 + 196^2 +...+ 4^2 + 2^2 \ \ S_1 = 199^2 + 197^2 +195^2+...+3^2 +1^2](https://tex.z-dn.net/?f=S_2+%3D+200%5E2+%2B+198%5E2+%2B+196%5E2+%2B...%2B+4%5E2+%2B+2%5E2+%5C++%5C+S_1+%3D+199%5E2+%2B+197%5E2+%2B195%5E2%2B...%2B3%5E2+%2B1%5E2)
Находим их разность:
![S_2 -S_1 = \ =(200^2 + 198^2 + ...+ 4^2 + 2^2) - (199^2 + 197^2 +...+3^2 +1^2) = \ \ = (200^2 - 199^2 ) + (198^2 - 197^2)+...+(4^2 - 3^2) + (2^2 -1^2) = \ \ = (200-199)(200+199) + (198-197)(198+197) +...+ \ \ +(4-3)(4+3) + (2-1)(2+1) = \ \ = 200+199+198+197+...+4+3+2+1 = \ \ = frac{1+200}{2} 200 =20100 S_2 -S_1 = \ =(200^2 + 198^2 + ...+ 4^2 + 2^2) - (199^2 + 197^2 +...+3^2 +1^2) = \ \ = (200^2 - 199^2 ) + (198^2 - 197^2)+...+(4^2 - 3^2) + (2^2 -1^2) = \ \ = (200-199)(200+199) + (198-197)(198+197) +...+ \ \ +(4-3)(4+3) + (2-1)(2+1) = \ \ = 200+199+198+197+...+4+3+2+1 = \ \ = frac{1+200}{2} 200 =20100](https://tex.z-dn.net/?f=S_2+-S_1+%3D+%5C++%3D%28200%5E2+%2B+198%5E2+%2B+...%2B+4%5E2+%2B+2%5E2%29+-+%28199%5E2+%2B+197%5E2+%2B...%2B3%5E2+%2B1%5E2%29+%3D+%5C++%5C+%3D+%28200%5E2+-+199%5E2+%29+%2B+%28198%5E2+-+197%5E2%29%2B...%2B%284%5E2+-+3%5E2%29+%2B+%282%5E2+-1%5E2%29+%3D+%5C++%5C+%3D+%28200-199%29%28200%2B199%29+%2B+%28198-197%29%28198%2B197%29+%2B...%2B+%5C++%5C+%2B%284-3%29%284%2B3%29+%2B+%282-1%29%282%2B1%29+%3D+%5C++%5C+%3D+200%2B199%2B198%2B197%2B...%2B4%2B3%2B2%2B1+%3D+%5C++%5C+%3D++frac%7B1%2B200%7D%7B2%7D+200+%3D20100)
Всё. Оказалось, что равна сумме арифметической прогрессии для первых 200 натуральных чисел.
Пусть
Записываем суммы:
Находим их разность:
Всё. Оказалось, что равна сумме арифметической прогрессии для первых 200 натуральных чисел.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
1 год назад
8 лет назад