Question

В трапеции ABCD с основанием AD проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. Известно, что площадь треугольника BOC в 4 раза меньше плошади треугольника AOD. Найти отношение плошади трапеции к площади треугольника BOC.

Answer 1

1) Проведем высоты ОК и ОМ в треугольниках, тогда запишем соотношение площадей треугольников

$frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = frac{frac{1}{2}*AD*OM}{frac{1}{2} * OK * BC} = frac{AD}{BC} * frac{OM}{OK} = 4$

$frac{AD}{BC} * frac{OM}{OK} = 4$

2) Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через току пересечения диагоналей трапеции, делятся этой точкой в соотношении

$frac{OK}{OM} = frac{BC}{AD}$

Подставим в (1) и выразим отрезок AD

$frac{AD}{BC} = 4 * frac{OK}{OM} = 4 * frac{BC}{AD} Rightarrow \ \ (frac{AD}{BC})^2 = 4 \ \ AD = 2BC$

аналогично
$OM = 2OK$

3) Найти отношение площади трапеции к площади ΔBOC

$frac{S_{ABCD}}{S_{BOC}} = frac{1/2*(BC+AD)*MK}{1/2BC*OK} = frac{(BC+2BC)*(OM+OK)}{BC*OK} = \ \ = frac{3BC}{BC}* frac{2OK+OK}{OK} = 3 *3 = 9$

Ответ: 9