Question

Среднее гармоническое, геометрическое и арифметическое различных натуральных чисел a < b являются натуральными числами. Найдите минимально возможное b. (Напомним, что среднее гармоническое чисел a и b -- это число, обратное к среднему арифметическому чисел 1/a и 1/b.)

Answer 1

По условию (a + b)/2, sqrt(ab) и 2ab/(a + b) — натуральные числа.

Пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = Ad, b = Bd, A и B взаимно просты.

Среднее геометрическое равно d * sqrt(AB). Чтобы оно было натуральным числом, A и B должны быть полными квадратами.

Среднее гармоническое равно 2d * AB/(A + B). Чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на A + B, поскольку у A + B нет общих делителей ни с A, ни с B.
В случае, когда A = 1^2, B = 2^2, A + B = 5, d >= 5. Во всех остальных случаях 2d >= A + B >= 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d >= 5.

Если d = 5, то числа равны 5A и 5B. Чтобы среднее арифметическое 5(A + B)/2 было натуральным числом, A и B должны быть одинаковой чётности, поэтому b >= 5 * 3^2 = 45. Проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 — подходит под условие.

Попробуем найти меньшие b при d > 5. Если dB < 45, d >= 6 и B — полный квадрат, то B < 45/6, B <= 7.
Учитывая, что B не может быть равно 1^2, получаем, что B = 2^2 = 4, A = 1^2 = 1.
2d должно делиться на A + B = 5, d > 5.
Если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40.
Если d >= 15, то b >= 60 > 45, уже не интересует.

Ответ. 40.