Ответы
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Дан ∆АВС. Рассмотрим векторы , , (рис. 13). Очевидно , . Возведем это равенство скалярно в квадрат:
Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем
, где , , - длины сторон ∆АВС, <A – угол между сторонами АВ и АС. Теорема доказана.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Рассмотрим ∆АВС со сторонами a, b, c и противолежащими углами α, β, γ. Докажем, что
.
Из вершины С треугольника АВС опустим высоту CD . Из прямоугольного ∆АСD, если α – острый угол, получаем . Если α – тупой угол, то .
Аналогично из прямоугольного ∆BCD получаем . Таким образом, , т.е. . Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А , аналогично имеем . Итак, .
Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.