Question

Помогите решить 3 задания (Коши, частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию, общее решение дифференциального уравнения).

Answer 1

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
$sqrt{3+y^2}+sqrt{1-x^2}yfrac{dy}{dx}=0|*frac{dx}{sqrt{1-x^2}sqrt{3+y^2}}\frac{dx}{sqrt{1-x^2}}=-frac{ydy}{sqrt{3+y^2}}\intfrac{dx}{sqrt{1-x^2}}=-frac{1}{2}intfrac{d(3+y^2)}{sqrt{3+y^2}}\arcsinx=-sqrt{3+y^2}+C\arcsinx+sqrt{3+y^2}=C$
При делении мы теряем возможное решение:$y=^+_-sqrt{3}i$, проверяем.
$y=^+_-sqrt{3}i\y'=0\sqrt{3+y^2}+sqrt{1-x^2}yy'=0\sqrt{3-3}+0=0\0=0$
$y=^+_-sqrt{3}i$ является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$arcsinx+sqrt{3+y^2}=C;y=^+_-sqrt{3}i$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
$y'-frac{y}{x}=2lnx\y=uv;y'=u'v+v'u\u'v+v'u-frac{1}{x}uv=2lnx\u'v+u(v'-frac{1}{x}v)=2lnx\begin{cases}v'-frac{1}{x}v=0\u'v=2lnxend{cases}\frac{dv}{dx}-frac{v}{x}=0|*frac{dx}{v}\frac{dv}{v}=frac{dx}{x}\intfrac{dv}{v}=intfrac{dx}{x}\ln|v|=ln|x|\v=x\frac{du}{dx}x=2lnx|*frac{dx}{x}\du=frac{2lnxdx}{x}\int du=2int lnxd(lnx)\u=ln^2|x|+C\y=xln^2|x|+Cx\y(1)=1\\1=0+C\C=1\y=xln^2|x|+x$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
$y''-9y=(4x+2)e^x\lambda^2-9=0\lambda^2=9\lambda_{1,2}=^+_-3\Y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}\hat{y}=(Ax+B)e^{x}\hat{y}'=Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}\hat{y}''=2Ae^x+(Ax+B)e^{x}\\2Ae^x+(Ax+B)e^{x}-9(Ax+B)e^{x}=(4x+2)e^x\e^x|A-4B=1= textgreater B=-frac{3}{8}\xe^x|-8A=4= textgreater A=-frac{1}{2}\hat{y}=(-frac{1}{2}x-frac{3}{8})e^x\y=Y+hat{y}=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(frac{1}{2}x+frac{3}{8})e^x$
$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(frac{1}{2}x+frac{3}{8})e^x\y(0)=1\1=C_1+C_2-frac{3}{8}\C_1+C_2=frac{11}{8}\\\y'=-3C_1e^{-3x}+3C_2e^{3x}-frac{1}{2}e^x-(frac{1}{2}x+frac{3}{8})e^x\y'(0)=0\0=-3C_1+3C_2-frac{1}{2}-frac{3}{8}\3C_1-3C_2=-frac{7}{8}\\begin{cases}C_1+C_2=frac{11}{8}|*3\3C_1-3C_2=-frac{7}{8}end{cases}= textgreater begin{cases}3C_1+3C_2=frac{33}{8}\-\3C_1-3C_2=-frac{7}{8}end{cases}\6C_2=5\C_2=frac{5}{6}\C_1=frac{11}{8}-frac{5}{6}=frac{33-20}{24}=frac{13}{24}$
$y=frac{13}{24}e^{-3x}+frac{5}{6}e^{3x}-(frac{1}{2}x+frac{3}{8})e^x$