Question

24 БАЛЛА!!!!!
Из шести стержней длины 3 склеили треугольную пирамиду. На рёбра пирамиды сели три мухи. Оказалось, что расстояние между каждыми двумя из этих мух (измеряемое кратчайшим путем по рёбрам пирамиды) не меньше R. При каком наибольшем R такое возможно?

Answer 1

Пусть R > 3, тогда никакие две мухи не сидят на одном ребре. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, из трёх рёбер какие-то два лежат в одной грани (в противном случае граней должно быть не меньше 2 * 3 = 6, а их всего 4. Рассмотрим пути между мухами, которые сидят в этой грани.

Эта грань — треугольник с периметром P = 3 * 3 = 9. Между мухами, сидящими в этой грани, есть два пути (см. рисунок, красный и зелёный), суммарная длина которых равна 9. Значит, кратчайший путь не длиннее 9/2 = 4,5.

Пример, как могут сидеть мухи, чтобы R было равно 4,5, на второй картинке.