Question

В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют 26 команд. В некоторый момент турнира тренер команды A заметил, что любые две команды, отличные от A, сыграли разное количество игр. Какое наибольшее количество игр к этому моменту могла сыграть команда A?

Answer 1

Команд 26, значит, каждая может сыграть 25 игр (в один круг). По условию, любые 2 команды (кроме А) сыграли разное количество игр. Если одна из команд сыграла все 25 игр, то одна из команд сыграла только 1 игру, не сыграть он просто не могла. Если одна из команд не сыграла ни одной игры, то максимальное число игр у какой-то команды м.б. не более 24.
Следовательно, 25 команд сыграли разное количество игр, а количество игр команды А совпадает с одной из 25 команд.

Начнём рассмотрение с команды, сыгравшей наибольшее число игр - 25, т.е со всеми командами она сыграла (назовём эту команду 1). В этом случае и команда А может сыграть большее число игр. Итак, команды с 2 по 26 сыграют по 1 разу (и все с командой 1, что само по себе для реальности очень странно).
Смотрим на следующую команду 2. Кроме команды 1, команда 2 сыграла с оставшимися командами ещё 23 игры. При этом, команды с 3 по 25 сыграют 2 игры, команда 26 так и останется с одной игрой.
Команда 3 с оставшимися командами сыграла 21 игру. При этом, команды с 4 по 24 сыграют уже по 3 игры, команда 25 - 2 игры, команда 26 - 1 игру.
И т.д., с каждой командой остаётся на 2 игры меньше. Когда мы дойдём до 1 игры - это и будет то количество игр, которые сыграла команда А.
А встреча произойдёт ровно посередине: команды 13 и 14 сыграют по 13 игр.
Поэтому наибольшее число игр, которое может сыграть команда А, будет равно 13. (Т.е. в нашем рассмотрении это одна из команд 13 или 14).

Ответ: 13