Question

Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной
палочки.

Answer 1

Если из трёх палочек с длинами x >= y >= z нельзя сложить треугольник, то x >= y + z.

Обозначим длины частей $a_1geqslant a_2geqslant a_3geqslantdotsgeqslant a_{15}$. Запишем 17 неравенств:

$2a_1geqslant 2a_1\a_1geqslant a_2\a_1geqslant a_2+a_3\a_2geqslant a_3+a_4\a_3geqslant a_4+a_5\cdots\a_{13}geqslant a_{14}+a_{15}\ a_{14}geqslant a_{15}\a_{15}geqslant 0$
(первое неравенство всегда верно, второе и предпоследнее верны, так как a выписаны по убыванию, последнее — так как a15 — это длина, все остальные — по наблюдению, написанному выше)

Сложим все 17 неравенств.
$3a_1+(a_1+a_2+dots+a_{15})geqslant 2(a_1+a_2+dots+a_{15})\ 3a_1geqslant a_1+a_2+dots+a_{15}\ a_1geqslant dfrac13(a_1+a_2+dots a_{15})$

Так как сумма всех a равна длине исходной палочки, то последнее неравенство утверждает то, что требовалось доказать.