Question

Найти расстояние от точки D (-3;4:-5) до плоскости, проходящей через три точки
A (0;-3;1), B (-4;1;2), C (2;-1;5).

Answer 1

Составим уравнение прямой проходящей через три точки воспользовавшись формулой
$left[begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1end{array}right]=0$
$left[begin{array}{ccc}x-0&y+3&z-1\-4-0&1+3&2-1\2-0&-1+3&5-1end{array}right]= left[begin{array}{ccc}x&y+3&z-1\-4&4&1\2&2&4end{array}right]=$$=16x+(y+3)2+(-8(z-1))-8(z-1)-(-16(y+3))-2x=$
$=16x+2y+6-8z+8-8z+8+16y+48-2x=$$14x+18y-16z+70$
Получили уравнение для плоскости $14x+18y-16z+70=0$
Расстояние от точки $M(x_0;y_0;z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ найдем по формуле $d= frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{ sqrt{A^2+B^2+C^2} }$
$d= frac{|14(-3)+18*4+(-16)(-5)|}{ sqrt{14^2+18^2+16^2} } = frac{180}{ sqrt{776} } = frac{90}{ sqrt{194} }$