Question

3 и 4 номера, пожалуйста быстрее!

Answer 1

3. Даны два вектора a(-1; 3; -3) и b(1; 0; 1). Найти вектор, перпендикулярный им. Такой вектор находится как векторное произведение [aхb].

$c=[a b] = left[begin{array}{ccc}i&j&k\-1&3&-3\1&0&1end{array}right] =$

$= i(3*1-(-3)*0) -j(-1*1-(-3)* 1) +k(-1*0-3*1) = \ \ = 3i -2j -3k$

Итак, искомый вектор c(3; -2; -3)

4. Имеем 3 точки А(1; 2; -3), В(1; 4; -1) и С(-2; 2; 1). По ним построим плоскость. Для этого найдём нормальный вектор плоскости n, как векторное произведение векторов АВ и АС. Зная вектор n и любую точку плоскости, можно будет составить общее уравнение плоскости. В это уравнение подставим координаты точки D и найдём координату икс (в задании лямбда, но это неважно, какая буква).

Найдём вектор AB = (1-1; 4-2; -1-(-3)) = (0; 2; 2)
Найдём вектор AC = (-2-1; 2-2; 1-(-3)) = (-3; 0; 4)

Ищем вектор нормали n плоскости, как векторное произведение:
$n = [AB*AC] = left[begin{array}{ccc}i&j&k\0&2&2\-3&-2&2end{array}right] = \ \ = i(2*2-2*(-2)) -j(0*2-2*(-3)) +k(0*(-2)-2*(-3)) = \ \ 8i -6j +6k$

По найденному вектору и, допустим, точке А(1; 2; -3) составляем уравнение плоскости:

$8(x-1) -6(y-2) +6(z-(-3))=0 \ \ 8x -8 -6y +12 +6z +18 = 0 \ \ 8x -6y +6z +22 =0$

Подставляем в уравнение плоскости $8x -6y +6z +22 =0$ точку D(x; 2; 1):

$8x -6*2 +6*1 +22 =0 \ \ 8x = -16 \ \ x = -2$

Итак, точка D(-2; 2; 1) лежит в той же плоскости, что и точки A, B и C.

Ответ: х = -2 (или лямбда =  -2)