Question

Найти градиент функции z= x^2 - xy + y^2 в точке M(1; 1).

Answer 1

Градиентом функции $z=f(x;y)$ наз. вектор, координатами которого являются частные производные исходной функции, т.е.

${rm grad}, z=dfrac{partial z}{partial x},overline{i}+dfrac{partial z}{partial y}, overline{j}$

Частные производные функции :

$dfrac{partial z}{partial x}=dfrac{partial }{partial x}left(x^2-xy+y^2right)=2x-y;\ \ dfrac{partial z}{partial y}=dfrac{partial }{partial y}left(x^2-xy+y^2right)=2y-x.$

${rm grad}, z=(2x-y)cdot overline{i}+(2y-x)cdot overline{j}$

Градиент в точке M(1;1):

${rm grad}, z_{(1;1)}=(2cdot 1-1)cdotoverline{i}+(2cdot1-1)cdotoverline{j}=overline{i}+overline{j}$