Question

Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются
точками максимума, а какие – точками минимума:
а) y = -x²- 8x + 2
б) y = 15 + 48x - x³

Пожалуйста, решите и подскажите алгоритм решения на будущее

Answer 1

а) y = -x²- 8x + 2 

Найти производную
$а) y^1 = (-x^2- 8x + 2 )^1 = -2x - 8$

Приравнять производную к нулю и найти х, это будет точка экстремума
-2x - 8 = 0
2x = -8
x = -4

Функция y = -x²- 8x + 2  - квадратичная парабола, ветки направлены вниз, Значит, в точке   x = -4  будет максимум.

б) y = 15 + 48x - x³
Найти производную

$y^1 = (15 + 48x - x^3)^1 = 48 - 3x^2$
Приравнять производную к нулю
$48 - 3x^2 = 0 \ x^2 = 16 \ x=б4$

Дальше можно через знак производной, либо через соседние точки

x = 4  Подставить в исходную функцию, а затем соседнее значение
$y = 15 + 48*4 - 4^3 = 15 +192 - 64 = 143 \ x = 5 \ y = 15 + 48*5 - 5^3 = 130$ 
Т.к. y(5) < y(4), значит функция y = -x²- 8x + 2  на интервале х∈[4; +∞) убывает, точка х = 4 является максимумом.


x = -4
$y = 15 + 48*(-4) - (-4)^3= 15 - 192 + 64 = -113 \ x = -5 \ y = 15 + 48*(-5) - (-5)^3= 15 - 240 +125 = -100$

Т.к. y(-5) > y(-4), значит функция y = -x²- 8x + 2  на интервале
х∈(-∞;-4] убывает, точка х = -4 является минимумом.