Question

Задание во вложении. Желательно ко второму рисунок

Answer 1

1.1.
$intlimits^0_{-3} { dfrac{xdx}{(x^2+1)^3} } = dfrac{1}{2} intlimits^0_{-3} { dfrac{2xdx}{(x^2+1)^3} } = dfrac{1}{2} intlimits^0_{-3} { dfrac{d(x^2+1)}{(x^2+1)^3} } = \ = dfrac{1}{2} intlimits^0_{-3} (x^2+1)^{-3}d(x^2+1)=dfrac{1}{2} cdotdfrac{(x^2+1)^{-2}}{-2} |^0_{-3}= -dfrac{1}{4(x^2+1)^2} |^0_{-3}= \ =-dfrac{1}{4}cdotleft( dfrac{1}{(0^2+1)^2}- dfrac{1}{((-3)^2+1)^2}right)= -dfrac{1}{4}cdot left( 1- dfrac{1}{100}right)=-dfrac{99}{400}$

1.2. 
$intlimits^4_1 dfrac{4dx}{1+ sqrt{x} } =left textless begin{array}{l} t=sqrt{x} \ dt= dfrac{1}{2 sqrt{x} } dx=dfrac{1}{2 t} dx \ Rightarrow dx=2tdt \ t_1= sqrt{x_1}= sqrt{1}=1 \ t_2=sqrt{x_2}=sqrt{4}=2 end{array} right textgreater = intlimits^2_1dfrac{4cdot2tdt}{1+t}= 8intlimits^2_1 dfrac{t}{1+ t }dt= \ =8intlimits ^2_1dfrac{t+1-1}{t+1 }dt=8intlimits^2_1 left(1-dfrac{1}{t+1 }right)dt= 8 left(t -ln|t+1| }right)|^2_1= \ =8(2 -ln|2+1| })-8 (1 -ln|1+1|}=8(2 -ln3 })-8 (1 -ln2)=$
$=16 -8ln3 -8 +8ln2=8 +8 ( ln2-ln3)=8 +8 ln dfrac{2}{3} =8(1 + ln dfrac{2}{3})$

1.3. Интегрирование по частям:
$intlimits udv=uv- intlimits vdu$
$intlimits arcsin xdx=left textless begin{array}{l} arcsin x=u \ du = dfrac{dx}{ sqrt{1-x^2} } \ dx=dv \ v=x end{array} right textgreater =x arcsin x- intlimits dfrac{xdx}{ sqrt{1-x^2} }= \ =x arcsin x+ dfrac{1}{2} intlimits dfrac{-2xdx}{({1-x^2)^{0.5}} }= x arcsin x+ dfrac{1}{2} intlimits (1-x^2)^{-0.5}d(1-x^2)= \ =x arcsin x+ dfrac{1}{2} dfrac{(1-x^2)^{0.5}}{0.5} = x arcsin x+ sqrt{1-x^2}$
$intlimits^{0.5}_0 arcsin xdx=(x arcsin x+ sqrt{1-x^2} )|^{0.5}_0= \ =(0.5 arcsin 0.5+ sqrt{1-0.5^2} )-(0 arcsin 0+ sqrt{1-0^2} )= \ =0.5 cdotfrac{ pi }{6} + sqrt{1-0.25} -1= frac{ pi }{12} + sqrt{0.75} -1=frac{ pi }{12} + 0.5sqrt{3} -1$

2.1.
$S intlimits^b_a {(f(x)-g(x))} , dx$
Найдем второй предел интегрирования как абсциссу точки пересечения графиков:
$x=2x \ x=0$
$S= intlimits^4_0 {(2x-x)} dx =intlimits^4_0 {x} dx = dfrac{x^2}{2} |^4_0=dfrac{4^2}{2} -0=8$

2.2.
Один предел интегрирования x=4, находим второй:
$dfrac{1}{4} x^2=0 \ x^2=0 \ x=0$
$S= intlimits^4_0 { (dfrac{1}{4} x^2-0)} , dx =dfrac{1}{4} intlimits^4_0 { x^2} , dx =dfrac{1}{4} cdot frac{x^3}{3} ^4_0=dfrac{1}{4} cdot ( dfrac{4^3}{3}-0)= dfrac{1}{4} cdot dfrac{64}{3}=dfrac{16}{3}$