Question

исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда геометрической прогрессии:

1 + q + q^2 + ... + q^n + ...

Answer 1

Здесь нужно рассматривать четыре случая.
$triangleright~~~~~ 1.~~|q| textless 1~~~~Rightarrow~~~$  сходится.

         $displaystyle lim_{n to infty} S_n=lim_{n to infty} frac{1-q^n}{1-q}= frac{1}{1-q} -underbrace{lim_{n to infty} frac{q^n}{1-q} }_{=0}= frac{1}{1-q}.$

          $boxed{S= frac{1}{1-q} }~~-~~$  сумма ряда геометрической прогрессии

$~~~~~ 2.~~|q| textgreater 1~~~~Rightarrow~~~$  расходится

        $displaystyle lim_{n to infty} S_n= lim_{n to infty} frac{1-q^n}{1-q}= frac{1}{1-q}-underbrace{ lim_{n to infty} frac{q^n}{1-q} }_{=infty}=infty.$

$~~~~~ 3.~~ q=1~~~~~Rightarrow~~~~$  расходится.

       $S_n=underbrace{1+1+...+1}_{n}=n;~~~~displaystyle lim_{n to infty} S_n= lim_{n to infty} n=infty.$

$~~~~~ 4.~~ q=-1~~~~Rightarrow~~$  расходится.

      $S_n=underbrace{1-1+...pm1}_{n}=0~~ or~~1;~~~ displaystyle lim_{n to infty} S_n$ не существует               $triangleleft$