Question

исследовать функцию y=x^2/(x^2-1) и построить её график

Answer 1

ДАНО

Y=x²/(x²-1)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x)

(x²+1) =(x-1)(x+1)≠0.

 Х∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞0. Разрыв функции при Х = +/-1.

Вертикальные асимптоты -  Х= -1 и Х=1. 

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.

lim(-∞) У(х/х) = +1  limY(+∞) =+1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции -Y'(x) 

$Y'(x)= frac{2x}{x^2-1}+ frac{2x^3}{(x^2-1)^2}$

7. Локальные экстремумы. Максимум Ymax(0)= 0 

8. Интервалы возрастания и убывания.

Возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(-1;0) , убывает = Х∈(0;1)∪ (1;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = ?

Корень производной - нет. 

Выпуклая “горка» Х∈(-1;1), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-1)∪(1;+∞). 

11. Наклонная асимптота - совпадает с горизонтальной - Y = 1.

12. График в приложении.