Question

Найти множество всех первообразных для функции
q(x)=√(4x+5)-x
q(x)=√(6x-1)+3x

Answer 1

Интегралы от степенных функций берутся по правилу

$intlimits {x^n} , dx = frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$

$intlimitsb { (sqrt{ 4x+5}-x)} , dx = intlimitsb { sqrt{ 4x+5}} , dx -intlimitsb {x} , dx = \ \ = frac{1}{4} intlimitsb {(4x+5)^ frac{1}{2} } , d(4x +5)-intlimitsb {x} , dx = \ \ = frac{1}{4} frac{1}{ frac{1}{2} +1} (4x+5)^ {frac{1}{2}+1} } - frac{1}{1+1} x^{1+1} + C = frac{1}{6}(4x+5)^ {frac{3}{2}} } - frac{1}{2}x^2+C$

Аналогично второй

$intlimitsb { (sqrt{ 6x-1}+3x)} , dx = intlimitsb { sqrt{ 6x-1}} , dx +intlimitsb {3x} , dx = \ \ = frac{1}{6} intlimitsb {(6x-1)^ frac{1}{2} } , d(6x -1) +intlimitsb {3x} , dx = \ \ = frac{1}{6} frac{1}{ frac{1}{2} +1} (6x-1)^ {frac{1}{2}+1} } + 3frac{1}{1+1} x^{1+1} + C = frac{1}{9}(6x-1)^ {frac{3}{2}} } + frac{3}{2}x^2+C$

Для применения табличного интеграла от степенной функции, использовался приём, когда дифференциал приводится к виду выражения под интегралом.