Question

найти период функции y=cos(sin(x))

Answer 1

Нужно найти такое наименьшее положительное T, чтобы при любом x выполнялось равенство $cossin x=cossin(x+T)$.

Переносим всё в одну часть и раскладываем по формуле разности косинусов:
$cossin x-cossin(x+T)=0\ 2sinleft(dfrac{sin(x+T)+sin x}2right)sinleft(dfrac{sin(x+T)-sin x}2right)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один сомножитель равен нулю:
$left[begin{array}{l}sinleft(dfrac{sin(x+T)+sin x}2right)=0\sinleft(dfrac{sin(x+T)-sin x}2right)=0end{array}right. left[begin{array}{l}sin(x+T)+sin x=2pi n,nin mathbb Z\sin(x+T)-sin x=2pi k,kinmathbb Zend{array}right.$

Синус принимает значения в промежутке [-1, 1], значит сумма и разность синусов по модулю не превосходят 2. Значит, в полученном выше решении n = k = 0. Раскладываем сумму и разность синусов:
$left[begin{array}{l}sin(x+T)+sin x=0\sin(x+T)-sin x=0end{array}right.left[begin{array}{l}2sindfrac{2x+T}2cosdfrac T2=0\2sindfrac T2cosdfrac{2x+T}2=0end{array}right.$

Совокупность этих двух равенств можно обратно заменить на произведение, затем пользуемся формулой синуса двойного аргумента.
$2sindfrac{2x+T}2cosdfrac T2cdot2sindfrac T2cosdfrac{2x+T}2=0\ 2sindfrac{2x+T}2cosdfrac{2x+T}2cdot2sindfrac T2cosdfrac T2=0\ sin(2x+T)sin T=0$

sin(2x + T) вообще говоря не равно нулю. Чтобы равенство выполнялось при всех x, sin T должен быть равен нулю, откуда T = πs, s ∈ Z. Нас интересует наименьший положительный период, это T = π.

Ответ. π

Answer 2

большое вам спасибо, приятное завершение этого года )))