Question

Вычислить интеграл. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Решается методом неопределенных коэффициентов.
Раскладываем произведение на сумму дробей.
$frac{1}{(x-a)(x-b)} = frac{A}{x-a} + frac{B}{x-b} = frac{A(x-b)+B(x-a)}{(x-a)(x-b)} = frac{(A+B)x+(-Ab-Ba)}{(x-a)(x-b)}$
Знаменатели равны, значит, и числители одинаковы. Это значит, что коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны.
{ A + B = 0 (коэффициент при x)
{ -Ab - Ba = 1 (свободный член)
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
{ B = -A
{ -Ab + Aa = 1
A(a - b) = 1
A = 1/(a - b)
B = -A = -1/(a - b)
Теперь подставляем это в интеграл.
$int { frac{dx}{(x-a)(x-b)} }= int { frac{dx}{(a-b)(x-a)} }- int { frac{dx}{(a-b)(x-b)} }= frac{1}{a-b} ( int { frac{dx}{(x-a)}- int { frac{dx}{(x-b)})=$
$=frac{1}{a-b} (ln|x-a|-ln|x-b|)+C=frac{1}{a-b} *ln| frac{x-a}{x-b} |+C$