Question

найти определенный интеграл
x* arctg x dx, предел интегрирования от 0 до 1

Answer 1

интегрируем по частям неопределенный интеграл:
$int {x*arctgx} , dx$
u=arctgx => $du= frac{dx}{1+x^2}$
dv=xdx => $v= frac{x^2}{2}$
$int (udv) =uv-int (vdu)$
$int { frac{x^2}{2} *arctgx- frac{1}{2}* int frac{x^2dx}{1+x^2} } = frac{1}{2} (x^2*arctgx-int dx+int frac{dx}{1+x^2} )=\= frac{1}{2}(x^2*arctgx-x+acrtgx )+C= frac{(x^2+1)*arctgx-x}{2} +C$
теперь решаем определенный интеграл:
$intlimits^1_0 {x*arctgx} , dx=(frac{(x^2+1)*arctgx-x}{2} )intlimits^1_0= frac{2*arctg(1)-1}{2} - frac{arctg(0)-0}{2} = frac{ frac{pi}{2}-1}{2}\= frac{pi-2}{4}$

Answer 2

.............................................................................