Question

Пример 4. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:

Answer 1

1. Здесь можно сразу проверить на необходимый признак сходимости ряда
$displaystyle lim_{n to infty} frac{n+1}{2n+1}= frac{1}{2} ne 0$

Условие необх. сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

2. По признаку Коши
   $displaystyle lim_{n to infty} sqrt[n]{bigg( frac{n}{5n+2}bigg)^n } =lim_{n to infty} frac{n}{5n+2} = frac{1}{5} textless 1$
Ряд является сходящимся.

3. $displaystyle sum^infty_{n=1} frac{1}{sqrt{2n+1}}$

$dfrac{1}{sqrt{2n+1}} leq dfrac{1}{ sqrt{2} n^{1/2}}$

Поскольку $displaystyle sum^infty_{n=1}dfrac{1}{n^{1/2}}$ является сходящимся, то и исходный ряд тоже сходится по первому признаку сравнения