Question

Люди помогите, пожалуйста
Даны векторы
a , b и c. Найдите :
а) скалярное произведение векторов
a . b
б) векторное произведение векторов
a *b
в) смешанное произведение векторов
(a *b) . c
г) проекцию вектора b на вектор a
д) площадь треугольника, построенного на векторах a , b
е) объем пирамиды, построенной на векторах a , b , c .
a = MN
, M(-2; 3; 4), N(0; -2; 3), b = -2i + 3 j , c = (2; 3; - 4)

Answer 1

Для начала запишем координаты каждого из векторов
$overline a=MN=(0-(-2);-2-3;3-4)=(2;-5;-1)$
$overline b=(-2;3;0)$, т.к. вектор b построен в ортонормированном базисе i,j,k
$overline c=(2;3;-4)$
a)
$overline a cdot overline b = 2*(-2)+(-5)*3+(-1)*0 = -19$
б)
$overline a times overline b = leftbegin{vmatrix}i&j&k\2&-5&-1\-2&3&0end{vmatrix}right = i(-5*0-3*(-1))-j(2*0-(-2)*(-1)) \ + k(2*3-(-2)*(-5))=3i + 2j - 4k = {3;2;-4}$
в)
$[overline a times overline b] cdot overline c = leftbegin{vmatrix}2&-5&-1\-2&3&0\2&3&-4end{vmatrix}right = 4$
г) Найдем модуль вектора $overline a$
$|overline a| = sqrt{2^2+(-5)^2+(-1)^2} = sqrt{30}$
Пр$_{overline a} overline b = frac{overline a cdot overline b}{|overline a|} = frac{-19}{sqrt{30}}$
д) Из свойств векторного произведения:
$S_Delta = frac{1}{2} |overline a times overline b| = frac{1}{2} sqrt{3^2+2^2+(-4)^2}= frac{1}{2} sqrt{29}$
е) Найдем объем пирамиды
$V=frac{1}{6} |[overline a times overline b] cdot overline c| = frac{4}{6} = frac{2}{3}$