Question

Найти сумму ряда 1/(n*(n+1))

Answer 1

$sum_{n=1}^infty frac{1}{n(n+1)}$
Разложим общий член ряда на элементарные дроби
$frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$
Найдем частичную сумму ряда
$S_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} - frac{1}{2} - frac{1}{3} - frac{1}{4} + ... - frac{1}{n+1}$
Перегруппируем слагаемые для удобства
$S_n = 1 + frac{1}{2} - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{3} - frac{1}{4} + ... + frac{1}{n} - frac{1}{n+1} = 1 - frac{1}{n+1}$
Найдем предел частичной суммы при $n to infty$
$lim_{n to infty} S_n = lim_{n to infty} left (1 - frac{1}{n+1} right) = 1 - 0 =1$
Так как существует конечный предел, то ряд сходится, а его сумма $S=1$