Question

4^x - 2*5^2x - 10^x > 0

Answer 1

$4^{x} -2* 5^{2x} - 10^{2x } textgreater 0 |: 4^{x}$
$frac{ 4^{x} }{ 4^{x} } -2* frac{ 5^{2x} }{ 4^{x} } - frac{ 10^{x} }{ 4^{x} } textgreater 0$
$1-2* frac{ 5^{2x} }{ 2^{2x} }- ( frac{10}{4} )^{x} textgreater 0$
$1-2* ( frac{5}{2} )^{2x} - ( frac{5}{2} )^{x} textgreater 0 | : (-1)$
$( frac{5}{2} )^{2x}+ ( frac{5}{2} )^{x} -1 textless 0$
показательное, квадратное неравенство, замена переменной:
$( frac{5}{2} )^{x} =t,$  t>0
2t²+t-1<0 метод интервалов:
1. 2t²+t-1=0. t₁=-1, t₂=1/2
2.
 +++++(-1)----------(1/2)++++++>t
t∈(-1; 1/2)
3. t >-1 , -1<0. не подходит
t₂<1/2

обратная замена:
t<1/2, 
$( frac{5}{2} )^{x} textless frac{1}{2}$
простейшее показательное неравенство. прологарифмируем обе части неравенства по основанию а=5/2.  5/2>1, знак неравенства не меняем:
$log_{ frac{5}{2} } ( frac{5}{2} )^{x} textless log_{ frac{5}{2} } frac{1}{2}$
$x* log_{ frac{5}{2} } frac{5}{2} textless log_{ frac{5}{2} } frac{1}{2}$
$x textless log_{ frac{5}{2} } frac{1}{2}$