Допустим p и q комплексные числа, где
. Доказать, что если квадратное уравнение
модули решения равны, то
это действительное число.
Ответы
Ответ дал:
0
Пусть x1 = r exp(iα) и x2 = r exp(iβ) — корни уравнения.
По теореме Виета
![-p=re^{ialpha}+re^{ibeta}=r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\
q^2=re^{ialpha}cdot re^{ibeta}=r^2e^{i(alpha+beta)} -p=re^{ialpha}+re^{ibeta}=r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\
q^2=re^{ialpha}cdot re^{ibeta}=r^2e^{i(alpha+beta)}](https://tex.z-dn.net/?f=-p%3Dre%5E%7Bialpha%7D%2Bre%5E%7Bibeta%7D%3Dr%28e%5E%7Bialpha%7D%2Be%5E%7Bibeta%7D%29%5C%0Aq%5E2%3Dre%5E%7Bialpha%7Dcdot+re%5E%7Bibeta%7D%3Dr%5E2e%5E%7Bi%28alpha%2Bbeta%29%7D)
![p=-r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\
q=mp re^{i(alpha+beta)/2} p=-r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\
q=mp re^{i(alpha+beta)/2}](https://tex.z-dn.net/?f=p%3D-r%28e%5E%7Bialpha%7D%2Be%5E%7Bibeta%7D%29%5C%0Aq%3Dmp+re%5E%7Bi%28alpha%2Bbeta%29%2F2%7D)
Делим p на q:
![dfrac pq=pmdfrac{e^{ialpha}+e^{ibeta}}{e^{i(alpha+beta)/2}}=pm(e^{i(alpha-beta)/2}+e^{-i(alpha-beta)/2})=pm2cosdfrac{alpha-beta}2inmathbb R dfrac pq=pmdfrac{e^{ialpha}+e^{ibeta}}{e^{i(alpha+beta)/2}}=pm(e^{i(alpha-beta)/2}+e^{-i(alpha-beta)/2})=pm2cosdfrac{alpha-beta}2inmathbb R](https://tex.z-dn.net/?f=dfrac+pq%3Dpmdfrac%7Be%5E%7Bialpha%7D%2Be%5E%7Bibeta%7D%7D%7Be%5E%7Bi%28alpha%2Bbeta%29%2F2%7D%7D%3Dpm%28e%5E%7Bi%28alpha-beta%29%2F2%7D%2Be%5E%7B-i%28alpha-beta%29%2F2%7D%29%3Dpm2cosdfrac%7Balpha-beta%7D2inmathbb+R)
По теореме Виета
Делим p на q:
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад