Question

Допустим p и q комплексные числа, где $q neq 0$. Доказать, что если квадратное уравнение $x^{2} +px + q^{2} = 0$ модули решения равны, то $frac{p}{q}$ это действительное число.

Answer 1

Пусть x1 = r exp(iα) и x2 = r exp(iβ) — корни уравнения.

По теореме Виета
$-p=re^{ialpha}+re^{ibeta}=r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\ q^2=re^{ialpha}cdot re^{ibeta}=r^2e^{i(alpha+beta)}$

$p=-r(e^{ialpha}+e^{ibeta})\ q=mp re^{i(alpha+beta)/2}$

Делим p на q:
$dfrac pq=pmdfrac{e^{ialpha}+e^{ibeta}}{e^{i(alpha+beta)/2}}=pm(e^{i(alpha-beta)/2}+e^{-i(alpha-beta)/2})=pm2cosdfrac{alpha-beta}2inmathbb R$