Question

Докажите,что при любом натуральном n ....
Помогите пожалуйста букву д сделать! Заранее спасибо!

Answer 1

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть n=2*m-1, где m=1,2,3,........
1 шаг. Проверяем справедливость утверждения при m=1: 18/9=2 - при m=1 утверждение верно.

2 шаг. Допустим, что равенство верно при любом m=k: (1+2^(2*k-1)+7^(2*k-1)+8^(2*k-1))/9=N, где N - натуральное число.

3 шаг. перейдём теперь к m=k+1 и проверим справедливость равенства: (1+2^(2*k+1)+7^(2*k+1)+8^(2*k+1))/9=(1+4*2^(2*k-1)+49*7^(2*k-1)+64*8^(2*k-1))/9=(1+2^(2*k-1)+7^(2*k-1)+8^(2*k-1))/9+(3*2^(2*k-1)+48*7^(2*k-1)+63*8^(2*k-1))/9=N+7*8^(2*k-1)+(3*2^(2*k-1)+48*7^(2*k-1))/9. Но так как 8^(2*k-1) - натуральное число, то и N+8^(2*k-1) - тоже натуральное число. Обозначим его через N1. Теперь для того,чтобы доказать исходное равенство, нам нужно доказать, что выражение 3*2^(2*k-1)+48*7^(2*k-1) тоже делится на 9 при любом натуральном k. Повторно применяем метод математической индукции:
1. При k=1 (3*2+48*7)/9=342/9=38 - равенство верно.
2. Допустим (3*2^(2*k-1)+48*7^(2*k-1))/9=M, где M - натуральное число.
3. Проверяем (3*2^(2*k+1)+48*7^(2*k+1))/9=M+(3*3*2^(2*k-1)+48*48*7^(2*k-1))/9=M+2^(2*k-1)+256*7^(2*k-1). Но два последних выражения являются натуральными числами при любом натуральном k, а тогда и написанная сумма есть натуральное число. Значит, выражение (3*2^(2*k-1)+48*7^(2*k-1))/9 при любом натуральном k является натуральным числом, обозначим его через N2. Но тогда и выражение (1+2^(2*k+1)+7^(2*k+1)+8^(2*k+1))/9=N1+N2 есть натуральное число, а это и доказывает справедливость исходного равенства.
Утверждение доказано.