Question

Известно, что в любой окрестности точки a =1 находится бесконечно много членов последовательности (xn). Следует ли отсюда, что 
a)   lim xn=1 при x стремящемся к бесконечности ?
б число 5 не является пределом последовательности ?

Answer 1

а) Пример $x_n=(-1)^n$ показывает, что первое утверждение не следует из условия. В самом деле, все члены последовательности с четными номерами лежат в любой окрестности точки 1, а предела у последовательности нет, поскольку члены с нечетными номерами не лежат в окрестности (-1;3) точки 1 (по определению предела все члены последовательности начиная с некоторого должны лежать в этой окрестности). 

б) Второе утверждение справедливо, так как если предел равен 5, то все члены последовательности, начиная с некоторого обязаны лежать в окрестности (4;6) точки 5, и они никак не могут оказаться, скажем,  в окрестности (0;2) точки 1.