Question

Значение арифметического выражения: 9^22 + 3^66 – 18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи

Answer 1

Приведём вычисляемое выражение к более удобному виду:
9^22 + 3^66 – 18 = 9^22 + 9^(66/2) – 18 = 9^33 + 9^22 - 18

Далее переведём некоторые числа в третичную систему:
9-10 = 100-3
18-10 = 200-3

[1] Заметим, что число 9^n при n > 0 является круглым в третичной системе и двойки в нём содержаться не будет.

Рассмотрим выражение: 9^(n+m) + 9^n - 18
Вычислим это выражение для m=1 и n от 2 до 8, получится следующее:

n=2: K=1 : R=1002100
n=3: K=3 : R=100222100
n=4: K=5 : R=10022222100
n=5: K=7 : R=1002222222100
n=6: K=9 : R=100222222222100
n=7: K=11 : R=10022222222222100
n=8: K=13 : R=1002222222222222100

где n - степень; R - результат в третичной системе; K - кол-во двоек в R;

Из утверждения [1] и на основе полученных выше результатах видно, что слагаемое 9^(n+m) при m >= 1 на кол-во двоек в результате R никогда влиять не будет, поэтому его можно опустить.
(т.е. в нашем случае 9^33 отбрасываем)

Также в полученых выше результатах на основе анализа зависимости K от n для 9^n - 18 выводится следущая формула:
[2] K(n) = (n - 1) * 2 - 1

Подставляя число 22 в формулу [2], получаем: K(22) = (22 - 1) * 2 - 1 = 41;

Ответ: в выражении 9^22 + 3^66 – 18 в третичной системе будет содержаться 41 двойка.