Question

Найти уравнение и длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины А на плоскость BCD. Найти угол между стороной AC и плоскостью BCD:
А(0;1;-1); B(-2;3;5) C(1;-5;-9); D(-1;-6;3)

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:
А(0; 1; -1), B(-2; 3; 5), C(1; -5; -9), D(-1 ;-6; 3).

1) Определяем уравнение плоскости BCD:
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (-2) + B · (3) + C · (5) + D = 0 ,
A · (1) + B · (-5) + C · (-9) + D = 0 ,
A · (-1) + B · (-6) + C · (3) + D = 0 .
Решение матричным способом:

(x - (-2))-(8·(-2)-(-14)·(-9)) - (y - 3)(3·(-2)-(-14)·1) + (z - 5)(3·(-9)-(-8)·1) = 0

(-110)(x - (-2)) + (-8)(y - 3) + (-19)(z - 5) = 0

 - 110x - 8y - 19z - 101 = 0. 

Если умножим на -1, то получим уравнение плоскости:

110 · x + 8 · y + 19 · z + 101 = 0 .
Координаты точки А: (0; 1; -1).
Если прямая перпендикулярна плоскости 110x + 8y + 19z + 101 = 0, значит она параллельна нормальному вектору этой плоскости n⃗ ={110; 8; 19}. Итак надo составит уравнение прямой с направляющим вектором n⃗ , проходящей через точку А (0; 1; -1).
$frac{x-0}{110} = frac{y-1}{8}= frac{z+1}{19} .$

2) Расстояние от точки А до плоскости BCD.
Для вычисления расстояния от точки А(0, 1, -1) до плоскости 
110x + 8y + 19z + 101 = 0 используем формулу:

d  = |A·Аx  + B·Ау  + C·Аz  + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данныеd  = |110·0 + 8·1 + 19·(-1) + 101|/√(110² + 8² + 19²) =
    = |0 + 8 - 19+ + 101| / √(12100 + 64 + 361) = 
    = 90/√12525 = 6√501/167 ≈ 0,80418069. 

3) Угол между прямой АС и плоскостью BCD.
Уравнение АС: (x-0)/1 = (y-1)/(-6) = (z+1)/(-8).

Направляющий вектор прямой имеет вид:s = 1; -6; -8

Вектор нормали плоскости имеет вид:q = 110; 8; 19

Угол между прямой и плоскостью:
sin φ = | A · l + B · m + C · n | /(√A² + B² + C² · √l² + m² + n²) =
= | 110 · 1 + 8 · (-6) + 19 · (-8) | /(√110² + 8² + 19² · √1² + (-6)² + (-8)²) = 
= | 110 - 48 - 152 | /(√(12100 + 64 + 361)·√(1 + 36 + 64)) = 
= 90 /(√12525·√101) = 90/√1265025 = 6√50601/16867 ≈ 0,0800189697.
Этому синусу соответствует угол 0,0801046 радиан или  4,5896561°.