Question

Решите дифф. уравнения:
1) y''=6y'+9y=3x-8e^x
2) y'''+3y''+3y'+y=0 y(0)=-1. y'(o)=2. y''(0)=3

Answer 1

1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
       
                             yо.н. = уо.о. + уч.н.

Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
$y''+6y'+9y=0$

Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену $y=e^{kx}$.

$k^2+6k+9=0;\ \ (k+3)^2=0\\ k_{1,2}=-3$

Общее решение однородного уравнения: yo.o. = $C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е. $f_1(x)=3x$ и $f_2(x)=-8e^x$

Рассмотрим функцию $f_1(x)=3x$
$alpha =0;~~~ P_n(x)=3x~~~Rightarrow~~~ n=1$
Сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ = $Ax+B$

И, вычислив первую и вторую производную: $y'=A;~~~ y''=0$, подставим в исходное уравнение без функции $f_2(x)$.
$9Ax+6A+9B=3x$

Приравниваем коэффициенты при степени х:
$displaystyle left { {{9A=3} atop {6A+9B=0}} right. ~~~Rightarrow~~~~ left { {{A=3} atop {B=-2/9}} right.$

уч.н.₁ = (x/3) - 2/9 

Рассмотрим теперь функцию $f_2(x)=-8e^x$
$alpha=1;~~~ P_n(x)=-8~~~~Rightarrow~~~~ n=0$
Аналогично сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ = $Ae^x$

И тогда первая и вторая производная равны соответственно $y'=Ae^x$ и $y''=Ae^x$

$Ae^x+6Ae^x+9Ae^x=-8e^x\ \ 16A=-8\ \ A=- frac{1}{2}$

Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ

И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

           $y_{O.H.}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+ frac{x}{3} - frac{2}{9} - frac{e^x}{2}$

Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера $y=e^{kx}$.
$k^3+3k^2+3k+1=0\ (k+1)^3=0\ k=-1$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3x^2e^{-x}$

$y'=-C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3xe^{-x}-C_3e^{-x}\ y''=C_1e^{-x}-C_2e^{-x}-C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+2C_3e^{-x}-2C_3xe^{-x}+C_3e^{-x}=\ =C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}-2C_3xe^{-x}+3C_3e^{-x}$
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
$begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } -C_1+C_2-C_3=2 \ & text{ } C_1-2C_2+3C_3=3 end{cases}~~~Rightarrow~~~~begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } C_2=7 \ & text{ } C_3=6 end{cases}$

Частное решение: $y=-e^{-x}+7xe^{-x}+6x^2e^{-x}$