Ответы
Ответ дал:
0
1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
yо.н. = уо.о. + уч.н.
Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
![y''+6y'+9y=0 y''+6y'+9y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%2B6y%27%2B9y%3D0)
Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену
.
![k^2+6k+9=0;\ \ (k+3)^2=0\\ k_{1,2}=-3 k^2+6k+9=0;\ \ (k+3)^2=0\\ k_{1,2}=-3](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2%2B6k%2B9%3D0%3B%5C+%5C+%28k%2B3%29%5E2%3D0%5C%5C+k_%7B1%2C2%7D%3D-3)
Общее решение однородного уравнения: yo.o. =![C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x} C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}](https://tex.z-dn.net/?f=C_1e%5E%7B-3x%7D%2BC_2xe%5E%7B-3x%7D)
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е.
и ![f_2(x)=-8e^x f_2(x)=-8e^x](https://tex.z-dn.net/?f=f_2%28x%29%3D-8e%5Ex)
Рассмотрим функцию![f_1(x)=3x f_1(x)=3x](https://tex.z-dn.net/?f=f_1%28x%29%3D3x)
![alpha =0;~~~ P_n(x)=3x~~~Rightarrow~~~ n=1 alpha =0;~~~ P_n(x)=3x~~~Rightarrow~~~ n=1](https://tex.z-dn.net/?f=alpha+%3D0%3B%7E%7E%7E+P_n%28x%29%3D3x%7E%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E+n%3D1)
Сравнивая
с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ =![Ax+B Ax+B](https://tex.z-dn.net/?f=Ax%2BB)
И, вычислив первую и вторую производную:
, подставим в исходное уравнение без функции
.
![9Ax+6A+9B=3x 9Ax+6A+9B=3x](https://tex.z-dn.net/?f=9Ax%2B6A%2B9B%3D3x)
Приравниваем коэффициенты при степени х:
![displaystyle left { {{9A=3} atop {6A+9B=0}} right. ~~~Rightarrow~~~~ left { {{A=3} atop {B=-2/9}} right. displaystyle left { {{9A=3} atop {6A+9B=0}} right. ~~~Rightarrow~~~~ left { {{A=3} atop {B=-2/9}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+left+%7B+%7B%7B9A%3D3%7D+atop+%7B6A%2B9B%3D0%7D%7D+right.+%7E%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E%7E+left+%7B+%7B%7BA%3D3%7D+atop+%7BB%3D-2%2F9%7D%7D+right.+)
уч.н.₁ = (x/3) - 2/9
Рассмотрим теперь функцию![f_2(x)=-8e^x f_2(x)=-8e^x](https://tex.z-dn.net/?f=f_2%28x%29%3D-8e%5Ex)
![alpha=1;~~~ P_n(x)=-8~~~~Rightarrow~~~~ n=0 alpha=1;~~~ P_n(x)=-8~~~~Rightarrow~~~~ n=0](https://tex.z-dn.net/?f=alpha%3D1%3B%7E%7E%7E+P_n%28x%29%3D-8%7E%7E%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E%7E+n%3D0)
Аналогично сравнивая
с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ =![Ae^x Ae^x](https://tex.z-dn.net/?f=Ae%5Ex)
И тогда первая и вторая производная равны соответственно
и ![y''=Ae^x y''=Ae^x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%3DAe%5Ex)
![Ae^x+6Ae^x+9Ae^x=-8e^x\ \ 16A=-8\ \ A=- frac{1}{2} Ae^x+6Ae^x+9Ae^x=-8e^x\ \ 16A=-8\ \ A=- frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=Ae%5Ex%2B6Ae%5Ex%2B9Ae%5Ex%3D-8e%5Ex%5C+%5C+16A%3D-8%5C+%5C+A%3D-+frac%7B1%7D%7B2%7D+)
Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ
И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
![y_{O.H.}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+ frac{x}{3} - frac{2}{9} - frac{e^x}{2} y_{O.H.}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+ frac{x}{3} - frac{2}{9} - frac{e^x}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y_%7BO.H.%7D%3DC_1e%5E%7B-3x%7D%2BC_2xe%5E%7B-3x%7D%2B+frac%7Bx%7D%7B3%7D+-+frac%7B2%7D%7B9%7D+-+frac%7Be%5Ex%7D%7B2%7D+)
Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера
.
![k^3+3k^2+3k+1=0\ (k+1)^3=0\ k=-1 k^3+3k^2+3k+1=0\ (k+1)^3=0\ k=-1](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E3%2B3k%5E2%2B3k%2B1%3D0%5C+%28k%2B1%29%5E3%3D0%5C+k%3D-1)
Общее решение однородного уравнения:![y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3x^2e^{-x} y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3x^2e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3DC_1e%5E%7B-x%7D%2BC_2xe%5E%7B-x%7D%2BC_3x%5E2e%5E%7B-x%7D)
![y'=-C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3xe^{-x}-C_3e^{-x}\ y''=C_1e^{-x}-C_2e^{-x}-C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+2C_3e^{-x}-2C_3xe^{-x}+C_3e^{-x}=\ =C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}-2C_3xe^{-x}+3C_3e^{-x} y'=-C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3xe^{-x}-C_3e^{-x}\ y''=C_1e^{-x}-C_2e^{-x}-C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+2C_3e^{-x}-2C_3xe^{-x}+C_3e^{-x}=\ =C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}-2C_3xe^{-x}+3C_3e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D-C_1e%5E%7B-x%7D%2BC_2e%5E%7B-x%7D-C_2xe%5E%7B-x%7D%2B2C_3xe%5E%7B-x%7D-C_3e%5E%7B-x%7D%5C+y%27%27%3DC_1e%5E%7B-x%7D-C_2e%5E%7B-x%7D-C_2e%5E%7B-x%7D%2BC_2xe%5E%7B-x%7D%2B2C_3e%5E%7B-x%7D-2C_3xe%5E%7B-x%7D%2BC_3e%5E%7B-x%7D%3D%5C+%3DC_1e%5E%7B-x%7D-2C_2e%5E%7B-x%7D%2BC_2xe%5E%7B-x%7D-2C_3xe%5E%7B-x%7D%2B3C_3e%5E%7B-x%7D)
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
![begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } -C_1+C_2-C_3=2 \ & text{ } C_1-2C_2+3C_3=3 end{cases}~~~Rightarrow~~~~begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } C_2=7 \ & text{ } C_3=6 end{cases} begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } -C_1+C_2-C_3=2 \ & text{ } C_1-2C_2+3C_3=3 end{cases}~~~Rightarrow~~~~begin{cases} & text{ } C_1=-1 \ & text{ } C_2=7 \ & text{ } C_3=6 end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=begin%7Bcases%7D+%26amp%3B+text%7B+%7D+C_1%3D-1+%5C+%26amp%3B+text%7B+%7D+-C_1%2BC_2-C_3%3D2+%5C+%26amp%3B+text%7B+%7D+C_1-2C_2%2B3C_3%3D3+end%7Bcases%7D%7E%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E%7Ebegin%7Bcases%7D+%26amp%3B+text%7B+%7D+C_1%3D-1+%5C+%26amp%3B+text%7B+%7D+C_2%3D7+%5C+%26amp%3B+text%7B+%7D+C_3%3D6+end%7Bcases%7D)
Частное решение:
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
yо.н. = уо.о. + уч.н.
Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену
Общее решение однородного уравнения: yo.o. =
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е.
Рассмотрим функцию
Сравнивая
yч.н.₁ =
И, вычислив первую и вторую производную:
Приравниваем коэффициенты при степени х:
уч.н.₁ = (x/3) - 2/9
Рассмотрим теперь функцию
Аналогично сравнивая
уч.н.₂ =
И тогда первая и вторая производная равны соответственно
Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ
И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера
Общее решение однородного уравнения:
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
Частное решение:
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад