Question

Помогите вычислить производную функции первого порядка, заданной неявно:

x^2*y + arctg(y/x)=0

Answer 1

$x^2*y + arctg(y/x)=0$

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса.

$(x^2y+arctg frac{y}{x})'_x = (x^2y)' + (arctg frac{y}{x})' = \ \ = 2xy+x^2y' + frac{( frac{y}{x} )'}{1+ frac{y^2}{x^2} } = 2xy+x^2y' + frac{frac{y'x-y}{x^2}}{1+ frac{x^2}{y^2} } = \ \ = 2xy+x^2y' + frac{y'x-y}{x^2+ y^2} = frac{2x^3y+2xy^3+x^4y'+x^2y^2y'+y'x-y}{x^2+ y^2} = \ \ = frac{y'(x^4+x^2y^2+x)+2x^3y+2xy^3-y}{x^2+ y^2}=0 \ \ y' = frac{y-2x^3y-2xy^3}{x^4+x^2y^2+x}$

Всё