Question

НАйти точку В*, симметричную точке В (-3;-1;5) относительно плоскости -6x -7y + z+2=0

Answer 1

Из условия видим, что направляющий вектор плоскости равен $overline{q}{-6;-7;1}.$
$dfrac{x+3}{-6}= dfrac{y+1}{-7}= dfrac{z-5}{1}$       (*)

Найдем точку пересечения прямой (*) и заданной плоскости. Для этого введём параметр $lambda$ в уравнении (*)

$dfrac{x+3}{-6}= dfrac{y+1}{-7}= dfrac{z-5}{1}=lambda$

Или эту прямую можно переписать в параметрической форме :
$dispalystyle begin{cases} & text{ } x=-6lambda-3 \ & text{ } y=-7lambda-1 \ & text{ } z=lambda+5 end{cases}$

И подставим эти данные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно $lambda$.
$-6cdot(-6lambda-3)-7cdot(-7lambda-1)+lambda+5+2=0\ 36lambda+18+49lambda+7+lambda+7=0\ 86lambda=-32\ lambda=- frac{16}{43}$

И так имеем точку пересечения прямой и плоскости:
   $dispalystyle begin{cases} & text{ } x=-6cdot(-frac{16}{43})-3 \ & text{ } y=-7cdot(-frac{16}{43})-1 \ & text{ } z=-frac{16}{43}+5 end{cases}~~~~~Rightarrow~~~~~~ dispalystyle begin{cases} & text{ } x=-frac{33}{43} \ & text{ } y=frac{69}{43} \ & text{ } z=frac{199}{43} end{cases}$

Назовём эту точку пересечения - N и эта точка является серединой отрезка $BB^*$. Следовательно,

      $x_{N}= dfrac{x_B+x_{B^*}}{2} ;~~~~~-dfrac{33}{43}=displaystyle frac{-3+x_{B^*}}{2} ;~~~~~ x_{B^*}=frac{63}{43}\ \ \ y_{N}= dfrac{y_B+y_{B^*}}{2} ;~~~~~~~~~frac{69}{43}=displaystyle frac{-1+y_{B^*}}{2} ;~~~~~ y_{B^*}=-frac{95}{43}\ \ z_{N}= dfrac{z_B+z_{B^*}}{2} ;~~~~~~~~frac{199}{43}=displaystyle frac{5+z_{B^*}}{2} ;~~~~~ z_{B^*}=frac{183}{43}$

ОТВЕТ: $B^*bigg(displaystyle frac{63}{43};-frac{95}{43};frac{183}{43}bigg).$