Question

Найти производные dz/du и dz/dv сложной функции: z=x^2*lny, где x=u^4/v^3 ; y=7u-1v

Answer 1

Когда берём производную по u, переменную v считаем константой, и наоборот, когда берём производную по v, переменную u считаем константой.
Функция сложная, применяем формулу производной произведения.

$z=x^2*lny \ \ z=( frac{u^4}{v^3} )^2*ln(7u-1v) = frac{u^8}{v^6} *ln(7u-1v) \ \ frac{dz}{du} = (frac{u^8}{v^6} )'*ln(7u-1v) + frac{u^8}{v^6} *(ln(7u-1v) )' = \ \ = frac{8u^7}{v^6} *ln(7u-1v) + frac{u^8}{v^6} * frac{7}{7u-1v} \ \ frac{dz}{dv} = (frac{u^8}{v^6} )'*ln(7u-1v) + frac{u^8}{v^6} *(ln(7u-1v) )' = \ \ = - frac{6u^8}{v^7} *ln(7u-1v) + frac{u^8}{v^6} * frac{-1}{7u-1v}= \ \ =- frac{6u^8}{v^7} *ln(7u-1v) - frac{u^8}{v^6} * frac{1}{7u-1v}$