Question

Укажите,какие из следующих утверждений верны:
1) Центр окружности,вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис
2) Радиус окружности,вписанной в правильный треугольник,в 3 раза меньше радиуса описанной окружности
3) Центр окружности,описанной около остроугольного равнобедренного треугольника,лежит на высоте,проведенной к основанию
4) Если треугольник ABC описан около окружности с центром О, то ОА=ОВ=ОС
Если можно,то с объяснением для каждого положения

Answer 1

1) Верное, так как точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон.

2) В правильном Δ радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности. Центры этих окружностей в этом случае совпадают, одновременно они являются точками пересечения медиан, которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Один из этих отрезков является радиусом описанной окружности, второй - радиусом вписанной окружности. 

3) Верное. В этом случае высота является по совместительству серединным перпендикуляром, а центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

4) Это утверждение верно только для равностороннего Δ, потому что только у такого Δ совпадают центры вписанной и описанной окружностей, а из написанного условия следует, что O - центр описанной окружности.