Question

Внутри угла ABC, меньшего 135 градусов, взяты точки M и N так, что углы ABM= MBN=NBС, AM перпендикулярен BM и ANперпендикулярен BN. Прямая MN пересекает луч BC в точкеK. Найдите BN, если BM=24,;BK=3

Answer 1

На середине отрезке АВ возьмём точку О и проведём окружность радиусом АО=ОВ. Тогда наша окружность пройдёт через точки М и N, т.к. по условию  углы ∠AMB = ∠ANB = 90°.
Лучи BM и BN делят угол ABC на три равные части меньше 45°. Отсюда, равны углы ∠ABN = ∠MBC, т.к. содержат в себе по две равные доли угла АВС.
Углы ∠BAN и ∠BMN опираются на одну и ту же дугу ∪BN, следовательно, эти углы равны: ∠BAN = ∠BMN. Значит, треугольники ΔBAN и ΔBMK подобны по двум углам, и угол ∠BKM = 90°, как ∠ANB.
Найдём МК по теореме Пифагора:
$MK = sqrt{BM^2-BK^2} = sqrt{24^2-3^2} = sqrt{567} =9 sqrt{7}$
Рассмотрим треугольник ΔMBK. Биссектриса треугольника BN делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
 $frac{MN}{NK} = frac{BM}{BK} = frac{24}{3} =8$
С другой стороны, ранее мы нашли, что $MN + NK = MK = 9 sqrt{9}$.
Составляем систему уравнений и решаем:
$left { {{MN + NK = 9 sqrt{7}} atop {frac{MN}{NK} =8}} right. \ \ MN=8NK \ \ 8NK+NK=9 sqrt{7} \ \ NK= sqrt{7}$
По теореме Пифагора находим BN:
$BN= sqrt{NK^2+BK^2} = sqrt{( sqrt{7})^2+3^2 } = sqrt{7+9} =4$

Ответ: 4