Question

сумма 3 членов геометрической прогрессии равна 7 а их произведение равно 8. найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

Answer 1

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 7? Иначе первый член не найти, а значит, и сумму.
По условию:

$b_1+b_2+b_3=7 \ b_1*b_2*b_3=8$

Уравнений два, переменных три. Ищем ещё одно уравнение. Им будет характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_n^2 = b_{n-1}* b_{n+1} \ \ b_2^2 = b_{1}* b_{3}$

Вот теперь есть три уравнения с тремя неизвестными.
$b_1+b_2+b_3=7 \ b_1*b_2*b_3=8 \ b_{1}* b_{3} = b_2^2$

Второе уравнение разделим на третье:

$frac{b_1*b_2*b_3}{b_{1}* b_{3}} = frac{8}{b_2^2} \ \ b_2 = frac{8}{b_2^2} \ \ b_2^3 = 8 \ \ b_2 = 2$

Подставим полученное значение в первое и второе уравнения:

$b_1+2+b_3=7 \ b_1*2*b_3=8 \ \ b_1+b_3=5 \ b_1*b_3=4 \ \ b_1 =5 -b_3 \ \ (5 -b_3)b_3 = 4 \ 5b_3 -b_3^2 = 4 \ b_3^2 -5b_3 +4 =0 \ D = 5^2 -4*1*4 =9 \ \ b_3= frac{5- sqrt{9} }{2*1} = 1 \ b_1 = 5 -b_3 = 5 -1 = 4 \ \ b_3= frac{5+ sqrt{9} }{2*1} = 4 \ b_1 = 5 -b_3 = 5 -4 = 1$

В результате было получено два решения:
$b_1 = 1; b_2 = 2; b_3 = 4; q = 2 \ \ b_1 = 4; b_2 = 2; b_3 = 1; q = frac{1}{2}$

Требуется найти сумму бесконечной геометрической прогрессии. Наверно, бесконечно убывающей, иначе, для нахождения суммы потребуется знать число членов.
Итак, ищем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии 1/2 и первым членом 4.

$S = frac{b_1}{1-q} = frac{4}{1- frac{1}{2} } = frac{4}{ frac{1}{2} } =8$

Ответ: 8