Question

Через точку М внутри треугольника ABC провели прямые

Answer 1

а) Все треуголники с площадями S1, S2, S3 подобны и подобны треугольнику АВС.
Значит, их площади соотносятя как квадарты соответствующих сторон.
Пусть стороны треугольников с площадями S1, S2, S3, параллельные стороне АВ равны a1, a2, a3 соответственно. Тогда
АВ=a1+a2+a3.
Для каждого заштрихованного треугольника получаем соотношение:
$frac{S_i}{S_{ABC}} = (frac{a_i}{a_1+a_2+a_3})^2; sqrt{frac{S_i}{S_{ABC}}} = frac{a_i}{a_1+a_2+a_3}.$
$sqrt{frac{S_1}{S_{ABC}}} +sqrt{frac{S_2}{S_{ABC}}}+ sqrt{frac{S_3}{S_{ABC}}} = frac{a_1+a_2+a_3}{a_1+a_2+a_3}=1,$
$sqrt{S_{ABC}}=sqrt{S_{1}}+sqrt{S_{2}}+sqrt{S_{3}};$
${S_{ABC}}=(sqrt{S_{1}}+sqrt{S_{2}}+sqrt{S_{3}})^2$

б) Рассмотрим параллелограмм при вершине А.
Его площадь равна произведению стороны a1 на высоту треугольника с площадью S2. Получаем: 
$S_A=a_1*( frac{S_2}{ frac{1}{2}a_2 } )=2S_2* frac{a_1}{a_2} =2S_2* sqrt{ frac{S_1}{S_2} } =2 sqrt{S_1S_2} .$
Аналогично,
$S_B=2 sqrt{S_2S_3}; S_C=2 sqrt{S_1S_3}$