Question

Последовательности $x_{n}$ и $x_{n} ^{'}$ - фундаментальные. Будет ли фундаментальна последовательность {$x_{1} , x_{1} ^{'},x_{2}, x_{2} ^{'},.. }$}?

Answer 1

Не обязательно.

Фундаментальная последовательность — последовательность, для любого ε > 0 начиная с какого-то места любые два члена отличаются менее, чем на ε.

Рассмотрим две последовательности $x_nequiv 0$ и $x'_nequiv1$. Они фундаментальные, так как все члены равны, но последовательность 0, 1, 0, 1, ... — не фундаментальная, так как любые два соседних члена отличаются на 1.