Question

Исследовать функцию и построить её график

Answer 1

исследуем функцию $y= frac{x^2}{(x-1)^2} = (frac{x}{x-1} )^2$
область определения:
$D(y)=x in (-infty;1)cup (1;+infty)$
четность/нечетность:
$y(-x)= (frac{-x}{-x-1} )^2= (frac{x}{x+1} )^2$
функция общего вида(не является четной или нечетной)
точки пересечения с осями координат:
$x=0; y=0; (0;0)$ - одна точка
асимптоты:
x=1 - вертикальная
$lim_{x to +infty} frac{x^2}{x^2-2x+1} = frac{1}{1- frac{2}{x}+ frac{1}{x^2} } = frac{1}{1-0+0} =1$
y=1 - горизонтальная
монотонность, убывание/возрастания, экстремиумы
найдем производную:
$y'= (frac{x^2}{(x-1)^2} )'= frac{2x*(x-1)^2-x^2*2(x-1)}{(x-1)^4} = frac{2x-2x^2}{(x-1)^4} = frac{-2x(x-1)}{(x-1)^4} =- frac{2x}{(x-1)^3}$
экстремиумы:
$- frac{2x}{(x-1)^3}=0 \-2x=0 \x=0 \y=0$
(0;0)
убывание возрастание:
используем метод интервалов(см. приложение 2)
функция возрастает на $xin [0;1)$
убывает на $xin (-infty;0]cup (1;+infty)$
(0;0) - точка локального минимума
найдем дополнительные точки:
x=2; y=4; (2;4)
x=-1; y=0,25 (-1;0,25)
строим график(см. приложение 1)