Question

3. Интегрирование элементарных функций
3.1 Вычислить следующие интегралы
3.2 Вычислить следующие интегралы, используя свойство дифференциала

Answer 1

3.1
1)
$intlimits{ frac{1}{ sqrt{5-x^2} } } , dx = intlimits{ frac{1}{5 sqrt{1- frac{x^2}{5} } } } , dx= frac{1}{5} intlimits{ frac{1}{sqrt{1- (frac{x}{ sqrt{5}})^2 } } } , dx=begin{bmatrix}frac{x}{sqrt{5}}=t & \dx=sqrt{5}cdot x&end{bmatrix}=$$frac{1}{5} intlimits{ frac{ sqrt{5}}{sqrt{1- t^2 } } } , dt=frac{1}{ sqrt{5} } intlimits{ frac{ 1}{sqrt{1- t^2 } } } , dt=frac{1}{ sqrt{5} } cdot arcsin(t)+C=frac{arcsin( frac{x}{sqrt{5}} )}{ sqrt{5} }+C$

2)
$intlimits{tg^2(x)} , dx= intlimits{ frac{sin^2x}{cos^2x} } , dx=intlimits{ frac{1-cos^2x}{cos^2x} } , dx=intlimits{( frac{1}{cos^2x}-1) } , dx=$$intlimits{frac{1}{cos^2x} } , dx- intlimits{1} , dx= tg(x)-x+C$
3)
$intlimits{ frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} } , dx= intlimits{ frac{1+x^2+x^2}{x^2(1+x^2)} } , dx=intlimits{ (frac{1+x^2}{x^2(1+x^2)} + frac{x^2}{x^2(1+x^2)}) } , dx=$$intlimits{ frac{1}{x^2} } , dx+intlimits{frac{1}{1+x^2} } , dx=- frac{1}{x}+arctg(x)+C$

3.2
$1) intlimits {e^{x-3}} , dx=[d(x-3)=dx]= intlimits {e^{x-3}} , d(x-3)=e^{x-3}+C$

2)
$intlimits{ sqrt[3]{x+11}} , dx=|d(x+11)=dx|= intlimits{(x+11)^{ frac{1}{3} }} , d(x+11)=$$frac{1}{ frac{1}{3}+1 } cdot(x+11)^{ frac{1}{3}+1 }+C= frac{3}{4} cdot(x+11)^{ frac{4}{3} }+C= frac{3(x+11) sqrt[3]{x+11} }{4}+C$

3)
$intlimits { frac{1}{9x^2+16} } , dx= frac{1}{16} intlimits { frac{1}{ frac{9x^2}{16}+1} } , dx= frac{1}{16} intlimits { frac{1}{ (frac{3x}{4})^2+1} } , dx=|d (frac{3x}{4})= frac{3}{4}dx|=$$frac{1}{16} intlimits { frac{ frac{4}{3} }{ (frac{3x}{4})^2+1} } , d( frac{3x}{4} )=frac{1}{12} intlimits { frac{ 1}{ (frac{3x}{4})^2+1} } , d( frac{3x}{4} ) = frac{1}{12}cdot arctg( frac{3x}{4} )+C$

$4) intlimits {e^{4x-3}} , dx=|d(4x-3)=4dx|= frac{1}{4}intlimits {e^{4x-3}} , d(4x-3)= frac{1}{4}cdot e^{4x-3}+C$