Question

Найти угол между двумя касательными к параболе у = - 2 - х^2, проведёнными через начало координат.

Answer 1

Абсциссы точек касания  x_1,x_2x​1​​,x​2​​   .    
Угловые коэфф. касательных   k_1=y'(x_1),; k_2=y'(x_2)k​1​​=y​′​​(x​1​​),k​2​​=y​′​​(x​2​​) 

Уравнение касательной:  y=y(x_1)+y'(x_1)(x-x_1)y=y(x​1​​)+y​′​​(x​1​​)(x−x​1​​) 

begin{lgathered}y=x^2,; ; y(x_1)=x_1^2\\y'=2x,y'(x_1)=2x_1\\Yravn.kasat.; ; y=x_1^2+2x_1(x-x_1)end{lgathered}​y=x​2​​,y(x​1​​)=x​1​2​​​​y​′​​=2x,y​′​​(x​1​​)=2x​1​​​​Yravn.kasat.y=x​1​2​​+2x​1​​(x−x​1​​)​​

Теперь подставим координаты точки, через которую проходит касательная, (0,-2) , в уравнение касательной вместо переменных:

begin{lgathered}-2=x_1^2+2x_1(0-x_1)\\-2=x_1^2-2x_1^2,; ; x_1^2=2,; x_1=sqrt2,\\x_2=-sqrt2end{lgathered}​−2=x​1​2​​+2x​1​​(0−x​1​​)​​−2=x​1​2​​−2x​1​2​​,x​1​2​​=2,x​1​​=√​2​​​,​​x​2​​=−√​2​​​​​

В принципе мы имеем обе точки касания:  A(sqrt2,2),; B(-sqrt2,2)A(√​2​​​,2),B(−√​2​​​,2) 

Подставим значения абсцисс в уравнение касательной.

begin{lgathered}a); ; y=2+2sqrt2(x-sqrt2); to ; y=2+2sqrt2x-4,\\y=2sqrt2x-2; to k_1=2sqrt2\\b); ; y=2-2sqrt2(x+sqrt2),to ; y=-2sqrt2x-2; to k_2=-2sqrt2end{lgathered}​a)y=2+2√​2​​​(x−√​2​​​)→y=2+2√​2​​​x−4,​​y=2√​2​​​x−2→k​1​​=2√​2​​​​​b)y=2−2√​2​​​(x+√​2​​​),→y=−2√​2​​​x−2→k​2​​=−2√​2​​​​​

Угол между прямыми можно найти по формуле 

begin{lgathered}tg alpha =|frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|\\tg alpha =|frac{2sqrt2-(-2sqrt2)}{1+2sqrt2(-2sqrt2)}|=|frac{4sqrt2}{1-8}|=frac{4sqrt2}{7}\\ alpha =arctgfrac{4sqrt2}{7}end{lgathered}​tgα=∣​1+k​1​​k​2​​​​k​1​​−k​2​​​​∣​​tgα=∣​1+2√​2​​​(−2√​2​​​)​​2√​2​​​−(−2√​2​​​)​​∣=∣​1−8​​4√​2​​​​​∣=​7​​4√​2​​​​​​​α=arctg​7​​4√​2​​​​​​​

Answer 2

тяжело понять в таком виде, если можно, на бумаге