Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=x^3 ; y=0; x=2; x=4.
б) y=1-x^2 ; y=x^2-1.

Answer 1

a
фигура ограничена сверху параболой,а снизу осью ох
$S= intlimits^4_2 {x^3} , dx =x^4/4|^4_2=64-4=60$
б
найдем пределы интегрирования
1-x²=x²-1
2x²=2
x²=1
x=-1  x=1
фигура ограничена сверху параболой 1-х²,а снизу параболой х²-
подинтегральная функция будет 1-х²-х²+1=2-2х²
$s= intlimits^1_{-1} {(2-2x^2)} , dx =2x-2x^3/3|^1_{-1}=2-2/3+2-2/3=8/3$

Answer 2

a) пределы интегрирования уже заданы.
Найдем площадь с помощью определенного интеграла:
$intlimits^4_2 {x^3} , dx = frac{x^4}{4} intlimits^4_2= frac{4^4}{4} - frac{2^4}{4} =4^3-4=64-4=60$
Ответ: 60 ед²
б) найдем точки пересечения:
$left { {{y=1-x^2} atop {y=x^2-1}} right. \1-x^2=x^2-1 \2x^2=2 \x^2=1 \x_1=1 \x_2=-1 \y_1=0 \y_2=0$
так как парабола y=1-x^2 располагается выше y=x^2-1, то:
$intlimits^1_{-1} {((1-x^2)-(x^2-1))} , dx =intlimits^1_{-1} {(-2x^2+2)} , dx=(- frac{2x^3}{3} +2x)intlimits^1_{-1}= \= -frac{2*1^3}{3} +2-( -frac{2*(-1)^3}{y} +2*(-1))= -frac{2}{3} +2- frac{2}{3} +2=4- frac{4}{3} =\= frac{12-4}{3} = frac{8}{3} =2 frac{2}{3}$
Ответ: $2 frac{2}{3}$ ед²