Question

найдите неопределенные интегралы,результаты проверить дифференцированием (под б)

Answer 1

$intlimits {xln(x+1)} , dx$
Преобразуем подынтегральное выражение (можно и без этого, но мне показалось, что так проще).

$intlimits {xln(x+1)} , dx = intlimits {(x+1-1)ln(x+1)} , dx = \ \ intlimits {(x+1)ln(x+1)} , dx -intlimits {ln(x+1)} , dx$

Сначала возьмём второй интеграл (по частям):
$intlimits {ln(x+1)} , dx = xln(x+1) - intlimits { frac{x}{x+1} } , dx = xln(x+1) - intlimits { frac{x+1-1}{x+1} } , dx = \ \ u = ln(x+1); du = frac{dx}{x+1} \ dv = dx; v = x \ \ =xln(x+1) - intlimits { } , dx + intlimits { frac{1}{x+1} } , dx = xln(x+1) - x + ln(x+1) = \ \ = (x+1)ln(x+1) - x$

Теперь первый интеграл (тоже по частям):
$intlimits {(x+1)ln(x+1)} , dx = frac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - intlimits {frac{1}{2} (x+1)^2} frac{1}{x+1} , dx = \ \ u = ln(x+1); du = frac{dx}{x+1} \ dv = x+1; v = frac{1}{2} (x+1)^2 \ \ = frac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - frac{1}{2} intlimits { (x+1)} , dx = \ \ frac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - frac{1}{4} (x+1)^2 = frac{1}{2} (x+1)^2 (ln(x+1) - frac{1}{2})$

Собираем вместе, из первого вычитаем второй интеграл:
$intlimits {xln(x+1)} , dx = \ \ frac{1}{2} (x+1)^2 (ln(x+1) - frac{1}{2}) - (x+1)ln(x+1) + x + C$

Проверяем дифференцированием:
$(frac{1}{2} (x+1)^2 (ln(x+1) - frac{1}{2}) - (x+1)ln(x+1) + x)' = \ \ frac{1}{2} 2(x+1)(ln(x+1) - frac{1}{2}) + frac{1}{2} (x+1)^2 frac{1}{x+1} - \ \ -ln(x+1) -(x+1) frac{1}{x+1}+1 = \ \ = (x+1)(ln(x+1) - frac{1}{2})+ frac{1}{2} (x+1) - ln(x+1) -1 + 1 = \ \ = (x+1)ln(x+1) -frac{1}{2}(x+1) + frac{1}{2} (x+1)- ln(x+1) = \ \ = xln(x+1) +ln(x+1)- ln(x+1) = xln(x+1)$