Question

Геометрия 10 класс, 2 номер все буквы.

Answer 1

PA = a/√2
AE = a/2
PE = √(a²/4+a²/2) = a√3/2
---
PC₂ = √(a²+a²/4) = a√5/2
---
C₂D = √(a²+a²/4) = a√5/2
C₂E = √(C₂D²+ED²) = √(a²*5/4+a²/4) = a√(3/2)
---
По формуле Герона считаем площадь PC₂E
p = (a√3/2 + a√5/2 + a√(3/2)) / 2 = a/4*(√3 + √5 + √6)
S² = p*(p-a√3/2)(p-a√5/2)(p-a√(3/2)) =
a/4*(√3 + √5 + √6)
*
a/4*(√3 + √5 + √6) - a√3/2
*
a/4*(√3 + √5 + √6) - a√5/2
*
a/4*(√3 + √5 + √6) - a√(3/2)
)
=
a/4*(√3 + √5 + √6)
*
a/4*(-√3 + √5 + √6)
*
a/4*(√3 - √5 + √6)
*
a/4*(√3 + √5 - √6)
)
= a⁴/256 *
 (√3 + √5 + √6)*(-√3 + √5 + √6)
*
(√3 - √5 + √6) * (√3 + √5 - √6)
=
-------- посчитаем корни
(√3 + √5 + √6)*(-√3 + √5 + √6)=
(-3+√3√5+3√2 -√3√5+5+√30 -3√2+√30+6)=
(8+2√30)
---
(√3 - √5 + √6) * (√3 + √5 - √6)=
(3 +√3√5-3√2 -√3√5-5+√30 +3√2+√30-6)=
(-8+2√30)
---
(8+2√30)*(-8+2√30) =
(-64 +16√30 -16√30 +4*30) = 120-64 = 56 !!! Хорошо !!!
---------------
=a⁴/256 *56 = a⁴*7/32
Это был квадрат площади. И сама площадь
S = a²/4*√(7/2)
По площади найдём высоту PZ
S = 1/2*a√(3/2)*PZ = a²/4*√(7/2)
PZ = a/2*√(7/3)
------------------------------------------------------------
Второе попроще
B₂F² = B₁F² +B₂B₁² = (a/2)²+(a/2)² = a²/2
B₂F = a/√2
PF² = PB₂² + B₂F² = a²/4+a²/2 = 3a²/4
PF = a√3/2
------------------------------------------------------------
Длина С₂К составляет 3/2a
СК² + СС₂² = С₂K²
СК² = 9/4a² - a²/4 = 2a²
CK = a√2
АЖ = DK = a(√2-1)
ЮЖ = a/2+a(√2-1) = a(√2-1/2)
ЮK² = a²(√2-1/2)²+a² = a²(2 - 2*√2/2 +1/4 +1) = a²(13/4-√2)
PK² = ЮK² + PЮ² = a²(13/4-√2) + a²/4 = a²(7/2-√2)
PK = a√(7/2-√2)
PC₂ = a√5/2
C₂K = 3/2a
по теореме косинусов
cos(PC₂K) = (PC₂² + C₂K² - PK²)/(2*PC₂*C₂K) = ((a√5/2)² + (3/2a)² - a²(7/2-√2))/(2*(a√5/2)*(3/2a)) = (5/4+9/4-14/4 + √2)/(3√5/2) = 2√2/(3√5)
sin(PC₂K) = √(1-cos²(PC₂K)) = √(1-(2√2/(3√5))²) = √(1-4*2/(9*5)) = √(1-8/45) =1/3*√(37/5)
PF = PC₂*sin(PC₂K) = a√5/2*1/3*√(37/5) = a/6*√37