Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 50. Выясни, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.
Ответ:
Разность прогрессии: d= ...
В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= ... - ... d;
2. f(d)= ... + ... d+ ... d2
Ответы
Ответ дал:
0
Из условии
. Воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии, имеем
![3bigg(a_1+dbigg)+a_1+3d=50;\ \ 3a_1+3d+a_1+3d=50\ \ 4a_1+6d=50;\ \ 2a_1+3d=25 3bigg(a_1+dbigg)+a_1+3d=50;\ \ 3a_1+3d+a_1+3d=50\ \ 4a_1+6d=50;\ \ 2a_1+3d=25](https://tex.z-dn.net/?f=3bigg%28a_1%2Bdbigg%29%2Ba_1%2B3d%3D50%3B%5C+%5C+3a_1%2B3d%2Ba_1%2B3d%3D50%5C+%5C+4a_1%2B6d%3D50%3B%5C+%5C+2a_1%2B3d%3D25)
Оттуда с последнего равенства выразим a1:![a_1= dfrac{25-3d}{2} a_1= dfrac{25-3d}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D+dfrac%7B25-3d%7D%7B2%7D+)
![a_3cdot a_5=bigg(a_1+2dbigg)bigg(a_1+4dbigg)~~~~~~-min~~~? a_3cdot a_5=bigg(a_1+2dbigg)bigg(a_1+4dbigg)~~~~~~-min~~~?](https://tex.z-dn.net/?f=a_3cdot+a_5%3Dbigg%28a_1%2B2dbigg%29bigg%28a_1%2B4dbigg%29%7E%7E%7E%7E%7E%7E-min%7E%7E%7E%3F)
Рассмотрим функцию![f(d)=bigg(dfrac{25-3d}{2} +2dbigg)bigg(dfrac{25-3d}{2} +4dbigg)= \ \ \ =dfrac{1}{4} bigg(25-3d+4dbigg)bigg(25-3d+8dbigg)= dfrac{1}{4} bigg(d+25bigg)bigg(5d+25bigg)=\ \ \ = dfrac{1}{4} bigg(5d^2+150d+625bigg)= dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4} f(d)=bigg(dfrac{25-3d}{2} +2dbigg)bigg(dfrac{25-3d}{2} +4dbigg)= \ \ \ =dfrac{1}{4} bigg(25-3d+4dbigg)bigg(25-3d+8dbigg)= dfrac{1}{4} bigg(d+25bigg)bigg(5d+25bigg)=\ \ \ = dfrac{1}{4} bigg(5d^2+150d+625bigg)= dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28d%29%3Dbigg%28dfrac%7B25-3d%7D%7B2%7D+%2B2dbigg%29bigg%28dfrac%7B25-3d%7D%7B2%7D+%2B4dbigg%29%3D+%5C+%5C+%5C+%3Ddfrac%7B1%7D%7B4%7D+bigg%2825-3d%2B4dbigg%29bigg%2825-3d%2B8dbigg%29%3D+dfrac%7B1%7D%7B4%7D+bigg%28d%2B25bigg%29bigg%285d%2B25bigg%29%3D%5C+%5C+%5C+%3D+dfrac%7B1%7D%7B4%7D+bigg%285d%5E2%2B150d%2B625bigg%29%3D+dfrac%7B5d%5E2%7D%7B4%7D+%2B+dfrac%7B75d%7D%7B2%7D+%2B+dfrac%7B625%7D%7B4%7D+)
Производная функции:
![f'(d)=bigg(dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4} bigg)'= dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} \ \ f'(d)=0;~~~~dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} =0\ \ \ d=-15 f'(d)=bigg(dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4} bigg)'= dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} \ \ f'(d)=0;~~~~dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} =0\ \ \ d=-15](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28d%29%3Dbigg%28dfrac%7B5d%5E2%7D%7B4%7D+%2B+dfrac%7B75d%7D%7B2%7D+%2B+dfrac%7B625%7D%7B4%7D+bigg%29%27%3D+dfrac%7B5d%7D%7B2%7D+%2B+dfrac%7B75%7D%7B2%7D+%5C+%5C+f%27%28d%29%3D0%3B%7E%7E%7E%7Edfrac%7B5d%7D%7B2%7D+%2B+dfrac%7B75%7D%7B2%7D+%3D0%5C+%5C+%5C+d%3D-15)
___-____(-15)____+_____>
Производная функции в точке d=-15 меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка d=-15 - точка минимума
ОТВЕТ: d=-15.
В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= an - (n-1)d;
2. f(d)= 156,25 + 37.5 d+ 1.25 d2
Оттуда с последнего равенства выразим a1:
Рассмотрим функцию
Производная функции:
___-____(-15)____+_____>
Производная функции в точке d=-15 меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка d=-15 - точка минимума
ОТВЕТ: d=-15.
В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= an - (n-1)d;
2. f(d)= 156,25 + 37.5 d+ 1.25 d2
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад