Вариант 1 1. A и B – произвольные точки плоскости α. Прямая MN перпендикулярна плоскости α. Докажите, что MN перпендикулярна AB. 2. Треугольник MNP – правильный, точка C – его центр. Прямая CH перпендикулярна к плоскости MNP. а) Докажите, что HM = HN = HP. б) Найдите HM, если MN = 3, CH = 1.
Ответы
Ответ: 2. б) 2
Объяснение:
1. Так как точки А и В лежат в плоскости α, то и все точки прямой АВ лежат в этой плоскости (аксиома 2).
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.
MN ⊥ α, AB ⊂ α, ⇒ MN ⊥ AB.
2.
а) Центр правильного треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
MC = NC = PC как радиусы окружности, описанной около треугольника MNP,
НС ⊥ (MNP), ⇒ ∠HCM = ∠HCN = ∠HCP = 90°,
НС - общий катет для треугольников HCM, HCN и НСР, значит,
ΔHCM = ΔHCN = ΔНСР по двум катетам. Следовательно
HM = HN = HP.
б) Треугольник правильный, поэтому радиус описанной окружности:
MC = MN√3 / 3 = 3√3 / 3 = √3
ΔHCM: ∠HCM = 90°, по теореме Пифагора
НМ = √(МС² + НС²) = √(3 + 1) = √4 = 2
