Question

Довжина одного із катетів прямокутного трикутника дорівнює 12.
Відстань від центра описаного навколо трикутника кола до цього катета
дорівнює 2,5. Знайти периметр трикутника.

Answer 1

Пусть треугольник АВС, прямой угол А, центр окружности О, дана длина АВ и расстояние от О до АВ это ОН.
1) ОН - это высота треугольника АВО. В то же время ОА и ОВ - радиусы описанной окружности, а значит они равны и этот треугольник равнобедренный. Значит ОН является одновременно и медианой АВО.
2) Раз ОН - медиана АВО, то АН=ВН=АВ/2=12/2 =6
3) Рассмотрим треугольник АНО. Он прямоугольный, известны катеты, найдём гипотенузу:
АО²=ОН²+АН² = 2,5²+6² = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5²
АО = 6,5 - это кстати и радиус окружности
4) Теперь представим отрезок ОМ, который является перпендикуляром к АС (т.е. М лежит на АС). По тому же принципу он будет медианой и высотой, а значит АМ=МС, и в то же время АМ=ОН. Значит АМ=МС=2,5, а весь АС=2*АМ=5
4) Зная катеты, можно найти гипотенузу:
ВС²=АВ²+АС² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13²
ВС = 13
5) И остался периметр:
Р = АВ+ВС+АС = 12+13+5 = 30