Question

Решите данное неравенство

Answer 1

делаем замену:
$y=7^x, y in (0;+infty)$
тогда:
$y^2-7y+3|y-5| geq 6$
раскрываем модуль:
$1) y^2-7y+3y-15 geq 6, y geq 5 \y^2-4y-21 geq 0 \D=16+84=100=10^2 \y_1= frac{4+10}{2} =7 \y_2= frac{4-10}{2} =-3 \(y-7)(y+3) geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 1)
$y in (-infty;-3]cup [7;+infty)$
пересекаем с $(0;+infty)$
$x in ((-infty;-3]cup [7;+infty))cap (0;+infty)=[7;+infty)$
$2)y^2-7y-3(y-5) geq 6, y leq 5; y in (-infty;5] \y in (0;+infty)cap (-infty;5]=(0;5] \y^2-7y-3y+15 geq 6 \y^2-10y+9 geq 0 \D=100-36=64=8^2 \y_1= frac{10+8}{2} =9 \y_2= frac{10-8}{2}=1 \(y-9)(y-1) geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 2)
$y in (-infty;1]cup [9;+infty)$
пересекаем с $(0;5]$
$y in ((-infty;1]cup [9;+infty))cap (0;5]=(0;1]$
объединяем получившееся множества:
$y in (0;1] cup [7;+infty)$
делаем обратную замену:
$left[begin{array}{ccc}0 textless 7^x leq 1 \7^x geq 7end{array}right. Rightarrow left[begin{array}{ccc} left { {{7^x textgreater 0} atop {7^x leq 1 }} right. \x geq 1end{array}right. Rightarrow left[begin{array}{ccc}left { {{x in R} atop {x leq 0 }} right. \x in [1;+infty)end{array}right. Rightarrow left[begin{array}{ccc}x in (-infty;0]\x in [1;+infty)end{array}right. \x in (-infty;0] cup [1;+infty)$
Ответ: $x in (-infty;0] cup [1;+infty)$